LAPW

Wenn man die Lösung eines Einteilchenproblems betrachtet, hat man zwei Bereiche zu unterscheiden. Zum einem die Bereiche um die Atomkerne, in der die Einteilchenwellenfunktion stark oszilliert, und einen Bereich, in der die Einteilchenwellenfunktion sich nur verhältnismässig schwach ändert. Diesem Sachverhalt tragen die LAPW-Basisfunktionen [And75,Ham79,WKW85,Sin94] Rechnung, indem zum einen in den nicht überlappenden muffin-tin-Kugeln um die Atomkerne Lösungen der radialen Schrödingergleichungen bestimmt werden und zum anderen im Zwischenbereich ebene Wellen gewählt werden:

Damit ergibt sich für die Enveloppenfunktion in Gleichung (Basisfunktion)

wobei ein reziproker Gittervektor ist. Die LAPW-Basisfunktionen werden somit durch Vektoren des reziproken Gitters charakterisiert. Die ebenen Wellen werden in die Atomkugeln fortgesetzt, indem man sie nach sphärischen Wellen entwickelt:

Für die Funktion in Gleichung (Basisfunktion) mit der logarithmischen Ableitung

ergibt sich:

Damit erhält man

und

mit

bezüglich der Funktion~ in Definition (LAPW Enveloppenfunktion) für die LAPW-Methode. Um die Säkulargleichung zu lösen, muss man nur noch die Gleichungen ( ) und ( ) in Gleichung (Basisfunktion) einsetzen und die Matrixelemente, definiert in der Gleichung (Eigenwertproblem), berechnen. Mit der Definition der potentialparameterabhängigen Grössen

und

ergibt sich schliesslich die Säkulargleichung zu